Галилео Галилею принадлежат слова: «Книга природы написана на языке математики». Спустя почти четыре столетия мы не устаем удивляться тому, что математические методы прекрасно подходят для описания нашего мира. Еще большее изумление вызывают естественно-научные открытия, сделанные на основе математического анализа уравнений. Создание любой сложной конструкции — от хитроумной дорожной развязки до квантового компьютера — сопряжено с математическими расчетами. Для полноценного понимания действия гравитации или квантовых явлений нам также не обойтись без математики. Но это кажется таким сложным и запутанным!
Как перестать бояться формул и полюбить математику? Почему она так эффективна в естественных науках? Есть ли этому предел, или, наоборот, для более глубокого понимания природы придется создавать математические конструкции, уже не укладывающиеся в голове человека? Все эти вопросы затрагиваются на страницах книги, а их художественное осмысление представлено в серии рисунков художника Ростана Тавасиева. На многие из них невозможно найти окончательные однозначные ответы. Но мы продолжаем обсуждать их и пытаемся понять, как устроен этот мир. Для этого понадобится преодолеть разделение на «две культуры»: «гуманитариев» и «естественников». Попробуем сделать еще один шаг в этом направлении.
Сергей Борисович Попов — известный астрофизик и популяризатор науки. Доктор физико-математических наук. Ведущий научный сотрудник Государственного астрономического института имени Штернберга (ГАИШ МГУ). Автор более 100 научных публикаций и нескольких научно-популярных книг.
Цитата В некотором смысле книга состоит из трех частей, и важнейшая из них связана с набором иллюстраций, созданных Ростаном Тавасиевым. С самого начала идея проекта вращалась вокруг визуальных образов, которые могли бы по-своему выразить роль математики в познании и описании мира, а также ее связь с другими подходами. Поэтому иллюстративный ряд — не просто дополнение к тексту, а самостоятельная сущность, у которой есть создатель, своими методами выражающий собственную точку зрения на мысли и образы, представленные в основной, текстовой, части книги.
Сергей Попов "Астрофизические итоги 2019 года". Лекция состоялась в научно-популярном лектории центра "Архэ" 20 января 2020 года.
Источник информации: Всенаука Фрагмент новой книги астрофизика Сергея Попова
Мы уже упоминали о «непостижимой эффективности математики». Некоторые ситуации выглядят абсолютно чудесными. В XIX веке математики для своих надобностей (я бы не побоялся сказать: «Во время своей игры в бисер») придумали тензоры. А потом Марсель Гроссман, который как раз и был математиком, вовремя рассказал о них Эйнштейну. В результате получилась общая теория относительности. Разве это не чудо, что к тому моменту, когда Эйнштейн (а также, например, Давид Гильберт) размышлял о природе гравитации, у математиков был готов весь необходимый инструментарий? Иначе говоря, не просто были придуманы «какие-то тензоры», а разработаны методы работы с ними, доказаны соответствующие теоремы, под все подведен надежный базис. В 1912 г., когда произошел важный обмен идеями между Гроссманом и Эйнштейном, тензоры уже стали неотъемлемой частью большой математики и вся надежность и достоверность этой науки были в распоряжении исследователей гравитации (о которой математики наверняка обычно не задумываются, принимая ее как должное и/или неизбежное).
Кажущаяся «магия» математики во многом связана с тем, что чаще всего люди видят лишь конечный результат. В самых разных областях и ситуациях, если мы не знаем о длительном процессе развития, об огромных усилиях, о пробах и ошибках, о множестве отброшенных вариантов, то удивленно восклицаем: «Как это у них получается!» Например, одежда из ткани, которая не горит, не протыкается ножом, но при этом легкая, удобная и теплая, поразила бы древнего человека. С его точки зрения, это практически чудо, но на самом деле — результат долгого, постепенного развития технологии. Это можно было бы ему продемонстрировать, начав с того, как делается нить из шерсти или хлопка, затем объяснить, как из этого ткется ткань, потом показать процесс создания искусственных нитей и т.д. и т.п.
Нелишне заметить, что подобные рассуждения верны не только для развития технологии и науки, но и для высокоорганизованных социально-политических структур. Устойчивые демократические общества пришли к такому состоянию в результате продолжительного и зачастую весьма болезненного развития, через периоды напряженной работы общества в целом, перемежаемые революциями и другими потрясениями.
Длительное и хотя бы относительно устойчивое развитие может приводить к удивительным по сложности результатам, если оценивать их исходя из начального состояния. «Чудеса» современной математики в этом смысле подобны «чуду глаза», чему мы посвятим отдельный разговор.
Неоднократно сложность зрительного аппарата представляли в качестве аргумента против эволюции: «Как мог сразу возникнуть такой сложный орган?» Но глаз не возник одномоментно. Он — продукт длительной естественной эволюции без конечной цели, начавшейся с очень простых «устройств». В эволюционном процессе при каждом шаге обычно происходят не такие уж большие усовершенствования, призванные решить локальные проблемы.
Похожим образом развиваются и математика, и области ее применения в науке. Стартовав с простых (по современным меркам) и понятных задач, нередко носивших сугубо практический характер, математика за два тысячелетия достигла уровня, на котором лишь единицы узких специалистов могут реально разобраться в тех или иных самых современных результатах в своей области. Древние греки, начавшие писать первые уравнения, не думали о развитии математического аппарата для теории струн.
При этом в биологической эволюции бывают и большие скачки, сопровождаемые массовым вымиранием одних видов и появлением или бурным развитием других. Такие события происходят и в развитии науки, в частности математики и физики.
Примеров «вымерших» теорий и моделей очень много. В физике это и уже упоминавшаяся выше геоцентрическая система мира, и теплород, и теория эфира. В математике можно вспомнить задачу о квадратуре круга, неразрешимость которой была доказана только в конце XIX века, и другие подобные проблемы, над решением которых бились веками (иногда получая попутно важные результаты). В борьбе конкурирующих моделей в естественных науках выживает более приспособленная — та, что лучше описывает реальный мир. В сегодняшней науке мы видим противостояние различных подходов к созданию квантовой гравитации, разных моделей ранней Вселенной. Идут споры о необходимости гипотезы слабо взаимодействующих элементарных частиц, не входящих в так называемую Стандартную модель (т.е. гипотезы о темном веществе), для объяснения большого комплекса астрофизических данных.
Продолжаются дискуссии о природе черных дыр — о процессах вблизи горизонта и под ним. Почти все из обсуждающихся моделей окажутся ошибочными, а потому со временем будут забыты. То же самое верно и для менее глобальных вопросов. Вообще, можно сказать, что активная научная деятельность существует, только если есть соперничество различных подходов к описанию или объяснению каких-то явлений. В этом смысле наука всегда находится в стадии становления. Она существует в относительно тонком переходном слое, отделяющем познанное от непознанного: впереди — темный лес, позади — учебники.
Длительный эволюционный процесс нашего понимания мира подарил нам ряд удивительных открытий. Среди кажущихся парадоксальными выводов в духе «Неужели такое может быть?!» можно выделить корпускулярно-волновой дуализм. Чтобы прийти к заключению, что у элементарных частиц проявляются волновые свойства, а некоторые волны в ряде процессов ведут себя как поток частиц, пришлось проделать долгий путь.
«Из точки А в точку Б вышел… вышла… вышло…» Что может переместиться из одной точки в другую? Во-первых, объект, предмет. Маленький объект — частица, кусочек вещества. Во-вторых, волна. Вот вы в полный штиль ловите рыбу, смотрите на поплавок и бросаете подкормку. Поплавок начинает колебаться, но вы не напрягаетесь, так как понимаете, что это до него дошла волна, в данном случае продольно-поперечная. Бывают чисто поперечные волны, как при колебаниях струны, или продольные, например звуковые. Но это все равно волны.
В XVII веке начали активно изучать волновые процессы и параллельно начался спор о природе света: то ли это поток частиц, то ли волны. Мнения ученых разделились: Ньютон считал, что частицы, а Франческо Гримальди, открывший дифракцию и интерференцию, — что волны.
Дифракция, по сути, сводится к тому, что волна может огибать препятствие, а интерференция — к тому, что волны могут складываться или вычитаться так, что сигнал оказывается усиленным или ослабленным. Это довольно легко наблюдать на волнах, появляющихся на воде.
Оказалось, что свет ведет себя похожим образом. В XIX веке сложилось четкое понимание, что свет — это поток поперечных волн, что было закреплено в теории Максвелла. Однако к концу того же века стали накапливаться данные, не вписывающиеся в волновое описание света. Это были, во-первых, фотоэффект, а во-вторых — так называемая ультрафиолетовая катастрофа.
Теорию фотоэффекта построил Эйнштейн и именно за это получил Нобелевскую премию. Парадокс в первую очередь состоял в том, что при освещении некоторых материалов даже незначительным потоком коротковолнового излучения они начинают испускать электроны, а если светить мощным потоком излучения с большой длиной волны, то эффекта нет. Это странно, ведь во втором случае мы передаем образцу гораздо больше энергии. Кроме того, если измерить индивидуальную энергию вылетающих электронов, то оказывается, что она растет не при увеличении мощности потока излучения, а с уменьшением длины волны ? (т.е. с ростом частоты электромагнитных волн ? = с / ?, где c — скорость света).
Загадку удалось разгадать, предположив, что свет представляет собой поток частиц — фотонов. Таким образом, энергия излучения передается электрону при индивидуальном взаимодействии двух частиц.
Если свет имеет большую длину волны (т.е. низкую частоту, ?? = с), то энергия фотонов ниже (E = h?, здесь h — постоянная Планка). Поэтому, несмотря на большую мощность потока (много фотонов), каждый из них несет маленькую энергию и не может оказать сильного воздействия на электрон: ниже некоторой энергии вообще не может его вырвать, а если вырывает, то не может придать большую энергию этой частице.
Парадокс с фотоэффектом возник раньше, чем была осознана проблема ультрафиолетовой катастрофы, но его удалось разрешить на несколько лет позже. В самом конце XIX века, в 1900 г., Макс Планк смог объяснить, почему формула Рэлея — Джинса, описывающая распределение энергии излучения в спектре так называемого абсолютно черного тела (им может быть, с некоторой точностью, нагретый металлический шар или плотное облако газа), дает «безумный» (катастрофический) результат для коротких (ультрафиолетовых) волн. Гипотеза Планка состояла в том, что свет может испускаться лишь порциями — квантами.
Энергия одного кванта пропорциональна частоте, а коэффициент пропорциональности впоследствии назвали постоянной Планка. Отметим, что это одна из трех самых важных констант в современной физике (две другие — это скорость света и гравитационная постоянная).
Теперь возник другой парадокс, с которым нам жить: свет одновременно и волна, и частица. При этом нельзя представлять себе излучение как поток неделимых частиц: можно поглотить порцию электромагнитных волн одной частоты и переизлучить на другой частоте.
Разумеется, число квантов до и после переизлучения будет разным, если сохраняется полная энергия квантов. Иначе говоря, электромагнитная волна как таковая не имеет какой-то минимальной порции. Эйнштейн пояснял его так: «Если пиво всегда продают в бутылках, содержащих пинту, отсюда вовсе не следует, что пиво состоит из неделимых частей, равных пинте».
У электромагнитных волн высокой частоты (гамма- и рентгеновский диапазоны) в большей степени проявляются свойства частиц, а в радиодиапазоне, наоборот, заметнее волновые свойства. Например, в астрономии детекторы излучения в разных диапазонах спектра работают по принципиально разным методикам. В радиодиапазоне, где длина волны велика, приборы регистрируют именно волны (т. е. колебания электромагнитного поля), а детекторы гамма-квантов похожи на детекторы элементарных частиц. Однако в случае и малой, и большой длины волны можно поставить эксперименты, где будут проявляться как корпускулярные, так и волновые свойства. Таким образом, «двойственная» природа света стала надежно подтвержденным фактом.
Думаете, на этом все закончилось? Вовсе нет — ягодки были еще впереди. Если про свет со времен Ньютона и Гримальди спорили, то про электроны (а заодно и другие частицы) — нет. Это же частицы! Оказалось, тоже не совсем. Эксперименты показали, что электроны также демонстрируют дифракцию и интерференцию, равно как и другие элементарные частицы. И даже не совсем элементарные. Современные эксперименты позволяют увидеть волновые свойства даже у довольно крупных молекул. А в 2018 г. волновые свойства удалось непосредственно продемонстрировать и у частиц антивещества.
Такие «волны материи» называют волнами де Бройля в честь Луи де Бройля, впервые построившего соответствующую теорию. В общем и целом она заключается в том, что если две частицы имеют одинаковые скорости, то чем больше масса частицы, тем меньше длина соответствующей ей волны. Соответственно, тем сложнее наблюдать волновые свойства таких объектов. Если масса частицы равна так называемой массе Планка (примерно 0,00001 грамма), то соответствующая ей длина волны равна так называемой планковской длине (около 10–33 см).
Интересно представить себе, как мы переносимся в XVII век, усаживаем за один стол Ньютона и Гримальди и объясняем им (видимо, на латыни, придется брать с собой продвинутого гуманитария в качестве переводчика), что оба они правы. Конечно, педант вспомнит, что в год смерти Гримальди (1663) Ньютону было всего 20 лет, но это не остановит наш полет фантазии.
Описание поведения света и частиц существенно усложнилось за сотни лет, разделяющих времена Рене Декарта, впервые объяснившего радугу, и Эрвина Шредингера, заложившего основы волновой квантовой механики. Готов поспорить, что прогресс в этой области может заметить даже неспециалист, просто на глазок сравнив публикации XVII и XX веков.
